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Konstruktionsprobleme

Übersicht über das Malfattische Problem

Das Malfattische Problem

Die Analyse

Einführende Abbildungen
Zentrale Behauptung
1. Schritt
2. Schritt
3. Schritt

Dargestellt sind das gegebene Dreieck ABC und die zu konstruierenden Kreise a, b, c (braun). Hellblau gezeichnet sind die Berührtangenten jeweils zweier der Lösungskreise, die sich im Punkt G schneiden (einen Beweis dafür, daß sich diese drei Geraden in genau einem Punkt schneiden, und einen Kommentar dazu, ob das für die Analyse wichtig ist, will ich später einfügen, jetzt möchte ich gerne mit der Analyse weiterkommen). Blau dargestellt sind die Hilfskreise a', b', c'; sie sind Inkreise von Dreiecken, die jeweils von zweien der Berührtangenten und einer Dreiecksseite gebildet werden.

Man beachte, daß sich die Hilfskreise im allgemeinen nicht berühren, die hellblauen Geraden sind jeweils nur eine der beiden gemeinsamen inneren Tangenten (die in Spezialfällen allerdings zusammenfallen können). Abbildung 2 zeigt diese Situation vergrößert.

Behauptung: Die Tangente h ist die Winkelhalbierende des Winkels BCA. Dementsprechend sind die anderen zweiten gemeinsamen Tangenten an jeweils zwei der Hilfskreise die beiden anderen Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC.

Der Beweis erfolgt in drei Schritten.

1. Schritt: M ist der Berührpunkt der Kante PS an a', den Inkreis des Dreiecks PSG.

Aus dieser Beziehung erhalten wir die Behauptung mit Hilfe der Umkehrung von Hilfssatz 3.

2. Schritt: Lege an den Kreis b' die Tangente durch C, die nicht durch Q geht! Diese berührt auch a'.

Abbildung 3a	Abbildung 3b

H ist der Schnittpunkt der Geraden durch G und S mit der eben gelegten Tangente (grün). Das Viereck CNGH ist Tangentenviereck an b', und das Viereck CNGP ist Tangentenviereck an Kreis c (s. Abbildung 1). Beide können abhängig von der Wahl des Dreiecks ABC eine etwas ungewohnte Form annehmen (s. Abbildung 3b). In einem Tangentenviereck sind die beiden Summen der Paare jeweils gegenüberliegender Seiten gleich (diese Aussage folgt aus Hilfssatz 1). Damit gilt:

Lege nun durch C an den Kreis a' die Tangente, die nicht durch M geht (s. Abbildung 1)! Zu zeigen ist dann, daß diese Tangente mit der eben behandelten Tangente an b' zusammenfällt. Dazu betrachten wir Abbildung 4, das Analogon zu Abbildung 3a):

H' ist analog zu Abbildung 3a der Schnittpunkt der Geraden durch G und S mit der Tangente. H' = H ist hinreichend für die Gleichheit der beiden Tangenten und damit für den Beweis der Behauptung in Schritt zwei. Um H = H' zu beweisen, betrachten wir analog zur obigen Vorgehensweise das Tangentenviereck PCH'G an a':

Aus Gleichung (5) folgt, daß H und H' auf einer Hyperbel mit den Brennpunkten C und G liegen, und zwar auf demselben Ast (sonst wären die beiden Differenzen zwar betragsmäßig gleich, hätten aber entgegengesetzte Vorzeichen). Gleichzeitig liegen aber H und H' auf der Geraden durch G und S zwischen diesen beiden Punkten (diese letzte Eigenschaft muß, wenn man pingelig ist, noch genauer begründet werden), also auf dem Strahl von G in Richtung S. Ein Strahl, ausgehend von einem Brennpunkt einer Hyperbel schneidet aber jeden Ast höchstens einmal, also müssen H und H' zusammenfallen, was zu beweisen war.

3. Schritt: Die im zweiten Schritt gefundene gemeinsame Tangente von a' und b' ist die Winkelhalbierende des Winkels BCA.

Hilfssatz: |MY| = |QX|

Beweis:

Damit ist der Hilfssatz bewiesen.

	Abbildung 6
			Erläuterungen zu Abbildung 6: Auf |MQ| werden die Lote gefällt von dem Mittelpunkt von a' (Lotfußpunkt A'), dem Mittelpunkt von b' (Lotfußpunkt B') und von C (Lotfußpunkt C') aus. |MQ| schneidet a' in M' und b' in Q'.

Es genügt zu zeigen, daß die Winkel MCM_a' und M_b'CQ übereinstimmen, denn diese Winkel sind gerade halb so groß wie die Winkel zwischen der jeweiligen Dreieickskante und der gemeinsamen Tangente. Begründung: Das Dreieck MCM_a' und das Dreieck, das aus M_a', C und dem Berührpunkt der Tangente (ich nenne ihn hier vorübergehend Z) gebildet wird, haben die Kante CM_a' gemeinsam. Darüberhinaus sind M_a'M und ZM_a' beide gleich dem Radius von a'. Nach Hilfssatz 1 stimmen auch die dritten Kanten überein. Also sind die Dreiecke kongruent (nur gespiegelt), und die beiden Winkel bei C sind gleich. Für b' argumentiert man entsprechend.

Beweis:

Damit sind die Dreiecke MCM_a' und M_b'CQ ähnlich, denn sie sind beide rechtwinklig, und die Katheten stehen im selben Verhältnis zueinander. Also sind die Winkel MCM_a' und M_b'CQ gleich, was zu beweisen war.

Die anfangs formulierte Behauptung ist damit bewiesen, und die Analyse des Problems ist abgeschlossen. Es ist nun möglich, die Konstruktion durchzuführen.

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Autor: Lutz Gehlen, email: lutz.gehlen@gmx.de
tum der letzten Änderung: 15.02.2002
URL der Hauptseite: http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~lgehlen/