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|PS|
= |PT| Der Satz folgt direkt aus dem Kongruenzsatz SsW, denn die beiden Dreiecke PMS und PTM haben die Kante PM gemeinsam, und MS und MT sind gleich lang. Ferner sind die der jeweils größeren Seite (PM ist auf jeden Fall größer als der Radius des Kreises) gegenüberliegenden Winkel gleich (beide sind rechte Winkel). Dann sind die Dreiecke kongruent, und PS und PT sind gleich lang. Die Euklid-Referenz für den Kongruenzsatz SsW muß ich nachtragen, an meinen Euklid komme ich zur Zeit nicht heran. |
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|PS|² = |PA| |PB| |
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|AB| - |AC| = |BU| - |UC| Der Satz ist umkehrbar, d.h., wenn U auf der Kante BC diese Bedingung erfüllt, dann ist U der Berührpunkt des Umkreises. Der Beweis des Satzes ergibt sich durch mehrmalige Anwendung von Hilfssatz 1. Ob und wo er bei Euklid steht, weiß ich nicht. Für die Umkehrung nehme man an, ein Punkt X liege rechts von U. Dann gelten |BX| > |BU| und |XC| < |UC| und damit |AB| - |AC| < |BX| - |XC|. Für einen Punkt links von U argumentiert man entsprechend. |
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| Autor: Lutz Gehlen, email: lutz.gehlen@gmx.de | |
| Datum der letzten Änderung: 15.02.2002 | |
| URL der Hauptseite: http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~lgehlen/ |
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